7.3 そして…重Laplacianの固有値問題

(工事中, 2013/1/7)

2012年春， 正方形領域における重調和作用素の固有値問題 (いわゆる Chladni 図形) の数値計算を扱った大学院生の修士論文で実を結んだ。

• 平野裕輝「正方形領域における重調和作用素の固有値問題 -- 差分法によるクラドニ図形の解析 --」, 2012年度明治大学大学院理工学研究科基礎理工学専攻修士論文, 2012年2月
  (MATLAB プログラムとそれを用いて計算したクラドニ図形の図がたくさん含まれています。)
• 2012年日本数学会秋季総合分科会での学会発表の資料は Numerical Analysis of Chladni figures にあります。

こんな風に実行する

>> N=160
>> A=plate_f1(N,0.3);
>> [v,d]=eigs(A,200,0);
>> plot_n(v(:,201-4),N,N)

自由縁を持つ正方形の板 (Poisson 比は $0.3$ とする) の固有振動の固有値， 固有関数を調べる。 正方形の各辺を $N=160$ 等分して差分法で行列の固有値問題を導く。 その行列は plate_f1() で計算出来る。 MATLAB 標準の eigs() を用いて，固有値＆固有関数を (固有値が小さい方から) $200$ 個計算する (余談であるが、eigs() はデフォールトでは、 固有値のred絶対値が大きい方から指定した個数の固有値、 固有ベクトルを求める。日本語ドキュメントでは、 絶対値 (magnitude) というのが落ちていて、 これははっきり誤訳だと思う。 3番目の引数にスカラーを指定すると、それを使ってシフト法をするらしい。)。 0 でない最初の固有値である第4固有値 $\lambda_4$ (0 は三重に縮重している) に属する固有関数の節線を plot_n() で描く。

16GB のメモりーを搭載した PowerMac で，$N=1280$ で計算することが出来る (1時間ちょっとかかる)。 top でチェックすると， CPU が時々 1600% 近くになっているのは大したものだと思う。