1 (普通の微積分版) 微分積分学の基本定理

I を示すには、$h\to 0$ のとき

$$\left\vert\frac{y(t+h)-y(t)}{h}-x(t)\right\vert =\left\vert\frac... ...]\atop\vert s-t\vert\le\vert h\vert}\left\vert x(s)-x(t)\right\vert\to 0. \qed$$

IIを示すには、

$$Y(t):=\int_a^t x(s)\,\D s$$

とおくと、I より $Y'(t)=x(t)$ ($t\in[a,b]$ ) であるから、 $Y'=y'$ であるので、 $\exists\xi\in\R$ s.t. $Y(t)=y(t)+\xi$ ($t\in[a,b]$ ). これから

$$\int_a^b x(t)\,\D t=Y(b)=Y(b)-Y(a)=y(b)-y(a).\qed$$

III を示すには、積の微分法の公式

$$\left(x(t)y(t)\right)'=x'(t)y(t)+x(t)y'(t)$$

を積分して、

$$\int_a^b \left(x(t)y(t)\right)'\D t=\int_a^b x'(t)y(t)\,\D t +\int_a^b x(t)y'(t)\,\D t.$$

この左辺は II より $\left[x(t)y(t)\right]_a^b$ に等しい。 $\qedsymbol$