5.1 正則行列の QR 分解

$A\in GL(n;\C)$ の列ベクトルを $\Vector{a}_1$ , $\cdots$ , $\Vector{a}_n$ とする:

$$A=(\Vector{a}_1 \ \Vector{a}_1 \ \cdots \Vector{a}_n).$$ (5)

この $\Vector{a}_1$ , $\cdots$ , $\Vector{a}_n$ に Gram-Schmidt の 直交化法を施して $\Vector{q}_1$ , $\cdots$ , $\Vector{q}_n$ を作る。 つまり

$$\Vector{v}_k := \Vector{a}_k-\sum_{i=1}^{k-1} \langle{\Vector{... ...tor{q}_i, \quad \Vector{q}_k\DefEq\frac{\Vector{v}_k}{\Vert\Vector{v}_k\Vert}$$   $$\mbox{($k=1,2,\cdots,n$)}$$

として計算するわけだが⁴、 中間変数 $r_{ik}$ ( $1\le i\le k\le n$ ) を導入して、 次のように書き換えておこう。

$$\Vector{v}_k := \Vector{a}_k-\sum_{i=1}^{k-1} r_{ik}\Vector{q}_i, \quad r_{ik}:=\langle{\Vector{a}_k},{\Vector{q}_i}\rangle ,$$ (6)

$$\Vector{q}_k :=\frac{\Vector{v}_k}{r_{kk}}, \quad r_{kk}:=\Vert\Vector{v}_k\Vert \mbox{($k=1,2,\cdots,n$)} .$$ (7)

さて

$$Q:= (\Vector{q}_1 \ \Vector{q}_2 \ \cdots \ \Vector{q}_n),\quad ... ..._{2n} \\ & &\ddots & \vdots \\ \bigzerol & & & r_{nn} \end{array} \right)$$

とおくと、$Q$ は unitary 行列で、

$$A=Q R.$$

ここまで $A$ は複素行列として計算してきたが、実行列である場合は、 $Q$ , $R$ も実行列 (したがって $Q$ は実直交行列) である。

上の議論から任意の正則行列は QR 分解可能であることが分かったが、実はこ れは一意的である。

証明. $A=QR$ は

$$\Vector{a}_{k}=\sum_{i=1}^k r_{ik}\Vector{q}_i$$   $$\mbox{($k=1,2,\cdots,n$)}$$

と書ける。$k=1$ についての条件

$$\Vector{a}_1=r_{11}\Vector{q}_1$$

から

$$r_{11}=\vert r_{11}\vert=\frac{\Vert\Vector{a}_1\Vert}{\Vert\Vector{q}_1\Vert}=\Vert\Vector{a}_1\Vert,$$

$$\Vector{q}_1=\frac{\Vector{a}_1}{r_{11}}.$$

次に $k=2$ についての条件

$$\Vector{a}_2=r_{12}\Vector{q}_1+r_{22}\Vector{q}_2$$

から、まず $\Vector{q}_1$ との内積を取って、

$$r_{12}=\langle{\Vector{a}_1},{\Vector{q}_1}\rangle .$$

これから

$$\Vector{v}_2:=\Vector{a}_2-r_{12}\Vector{q}_1$$

は計算できて、

$$\Vector{v}_2=r_{22}\Vector{q}_2$$

であるから、

$$r_{22}=\vert r_{22}\vert=\frac{\Vert\Vector{v}_2\Vert}{\Vert\Vect... ...ert}=\Vert\Vector{v}_2\Vert, \quad \Vector{q}_2=\frac{\Vector{v}_2}{r_{22}}.$$

以下 $k=3$ , $\cdots$ , $n$ と順に同様に計算できる。$\qedsymbol$ $\qedsymbol$