2.7.2 非対称の場合

$A$ が対角化可能としておく (これは余計な仮定か？)。 つまり、$\lambda_i$ に属する固有ベクトル $z_i$ が存在し、 $z_1$ , $\cdots$ , $z_n$ が基底となると仮定する。

よく知られているように、 $\overline \lambda_1$ は、 $A$ の Hermite 共役 $A^*$ の固有値になるが、 その固有ベクトル $w_1$ をシフト法で求めておく (もちろん $A$ が「対称」ならば $\lambda_1=\lambda_1^*$ で、 $w_1=z_1$ と取れるので、対称の場合にやった操作の一般化になっている)。

必要ならば定数倍することによって、 $w_1^*z_i=\delta_{i1}$ となるようにできる。実際、 $A^*w_1=\overline \lambda_1 w_1$ に注意して、

$$w_1^* z_i=(z_i,w_1)=(z_i,{\overline\lambda_1}^{-1}A^* w_1) ={\lambda_1}^{-1}(Az_i,w_1)={\lambda_1}^{-1}\lambda_i(z_i,w_1)$$

であるから、

$$\left(1-\frac{\lambda_i}{\lambda_1}\right)w_1^*z_i=0.$$

ゆえに $\lambda_i\ne \lambda_1$ ならば

$$w_1^* z_i=0.$$

一方 $w_1^* z_1\ne 0$ である。 実際、$w_1$ を $w_1=c_1 z_1+\cdots+c_n z_n$ と展開すると (ここで $\{z_i\}$ が基底であることを使っている)、 直交性 $w_1^* z_i=0$ ( $i=2,3,\cdots,n$ ) によって、 $0\ne w_1^* w_1=c_1 w_1^* z_1$ となるから。

そこで $B=A-\lambda_1 z_1 w_1^*$ とおくと、

$$B z_1=A z_1-\lambda_1 z_1 w_1^* z_1=\lambda_1 z_1-\lambda_1 z_1=0$$

また

$$B z_i=A z_i-\lambda_1 z_1w_1^*z_i=\lambda_i z_i-\lambda_1 z_10=\lambda_i z_i.$$

ゆえに $B$ について冪乗法を適用すると、$\lambda_2$ が得られる。