A. 差分方程式

$\Delta$ を中心差分演算子とする。 $v_j:=\Delta^2 u_j$ とする。すなわち

$$v_j=u_{j-1}-2u_j+u_{j+1}.$$

$$\Delta^4 u_j =\Delta^2 v_j=v_{j-1}-2v_j+v_{j+1}$$

$$= u_{j-2}-2u_{j-1}+u_{j}-2(u_{j-1}-2u_j+u_{j+1})+(u_j-2u_{j+1}+u_{j+2})$$

$$=u_{j-2}-4u_{j-1}+6u_j-4u_{j+1}+u_{j+2} \mbox{($2\le j\le N-2$)} .$$

ゆえに

$$u_{j-2}-4u_{j-1}+6u_j-4u_{j+1}+u_{j+2}=\lambda u_{j} \mbox{($2\le j\le N-2$)} .$$ (1)

一方で $u(0)=u'(0)=0$ より $u_0=0$ , $u_1-u_0=0$ として、

$$u_0=u_1=0.$$ (2)

また $u''(0)=u'''(0)=0$ より

$$u_{N-2}-2u_{N-1}+u_N=0,\quad (u_{N-3}-2u_{N-2}+u_{N-1})-(u_{N-2}-2u_{N-1}+u_N)=0.$$

これから

$$u_{N-2}-2u_{N-1}+u_N=0,\quad u_{N-3}-2u_{N-2}+u_{N-1}=0.$$

整理して

$$u_{N-1}=2u_{N-2}-u_{N-3},\quad u_{N}=2u_{N-1}-u_{N-2}=2(2u_{N-2}-u_{N-3})-u_{N-2}=3u_{N-2}-2u_{N-3}.$$ (3)

よって最後から2行目は

$$u_{N-5}-4u_{N-4}+6u_{N-3}-4u_{N-2}+u_{N-1} =u_{N-5}-4u_{N-4}+6u_{N-3}-4u_{N-2}+(2u_{N-2}-u_{N-3})$$

$$=u_{N-5}-4u_{N-4}+5u_{N-3}-2u_{N-2}.$$

最後の行は

$$u_{N-4}-4u_{N-3}+6u_{N-2}-4u_{N-1}+u_N =u_{N-4}-4u_{N-3}+6u_{N-2}-4(2u_{N-2}-u_{N-3})+(3u_{N-2}-2u_{N-3})$$

$$=u_{N-4}-2u_{N-3}+u_{N-2}.$$

よって

$$\frac{1}{h^4} \begin{pmatrix} 6u_2 & - 4u_3 & +u_4 \\ -4u_2 &... ...\ u_3 \\ u_4 \\ u_5 \\ \vdots \\ u_{N-4} \\ u_{N-3} \\ u_{N-2} \end{pmatrix}.$$

これは $N-3$ 次実対称行列の固有値問題である。