A..2.1.1 寝た子を起こす話

常微分方程式の講義で、 2階の線型常微分方程式

$$y''+p(x)y'+q(x)y=0$$

の解空間は $2$ 次元の線型空間であるという定理を学んだかもしれないが、 そこでは係数 $p(x)$ , $q(x)$ は普通の意味で素直な関数となっていたと思われる。 我々が扱っている Bessel の微分方程式は 0 が係数の特異点になっているので、 上の定理をそのまま使って一丁あがり、というわけにはいかない。 きちんと議論するには、 まず特異点 0 を除いた区間 $[a,b]$ ( $0<a<b<\infty$ ) に制限して考える。 ここでは上の定理が使えて解空間は$2$ 次元の線型空間であり、 関数の組 $\{\varphi_1,\varphi_2\}$ が存在して、 任意の解 $y$ に対して、$C_1$ , $C_2$ が一意的に存在して

$$y=C_1\varphi_1+C_2\varphi_2$$ (4)

が成り立つ。 $\varphi_1$ , $\varphi_2$ は $\Omega :=\C\setminus\{x; x\le 0\}$ まで正則に拡張できる。 これも証明を要することではあるが、 それほど難しいことではない (線形だから解は定義域の端まで延長できる) し、 我々の場合の $J_\nu(z)$ , $Y_\nu(z)$ はそのことを 直接確認することもできるので、省略する。

さて、こうして拡張した $\varphi_1(z)$ , $\varphi_2(z)$ は微分方程式の解になる (一致の定理による)。 微分方程式は線形同次であるから、 その線型結合 $y$ もやはり微分方程式の解になる。

逆に $\Omega$ で微分方程式をみたす $y$ があったとき、 それを $[a,b]$ に制限すると、 すでに述べたことから、適当な $C_1$ , $C_2$ が存在して (4) が成り立つ。 ここで関数関係の延長原理 (これも一致の定理による) を用いると、 $\Omega$ 全体で (4) が成り立つことが分かる。