A..1.3 ご対面の後に (すぐ分かること)

まず $J_{\nu}(z)$ の定義式からすぐに分かることを調べてみよう。 ここに書いてあることを理解するには複素関数論の (ごくごく初歩的な) 知識があればよい⁶。

(1) の $\sum$ の部分は いわゆる $z$ のベキ級数であり、その収束半径は (後で示すように) $\infty$ であるから、複素平面 $\C$ 全体で正則な関数 (整関数と呼ぶのであった) を与える。 例えば導関数を求めたい場合は、単に項別微分すればよい。

ところが、 一見簡単そうに見える $(z/2)^\nu$ の部分が要注意である。 $\nu$ が 0 以上の整数でないとき、この式は

$$(z/2)^\nu=\exp\left(\nu\log(z/2)\right)$$

のように解釈すべきものであり、 これは一般には整関数にはならないことを覚えているであろうか？ 複素関数論の授業では、 $w=\sqrt{z}$ や、$w=\log z$ という関数について学んだはずである。 $\log$ としていわゆる主値を取ると、 $\C$ から負軸を除いた領域⁷

$$\Omega:=\C\setminus\{x\in\R; x\le 0\}$$

で一価正則な関数を得ることができる。 特に $\nu\in\R$ のとき、 任意の $x>0$ に対して $J_\nu(x)\in\R$ となる。 また $\nu\ge 0$ ならば $J_{\nu}(0)$ にも普通に意味がつけられる:

$$J_\nu(0)=0$$   $$\mbox{($\nu>0$)}$$$$,\quad J_0(0)=1.$$

この Bessel 関数をどのように導入し、 その性質を調べて行くかについては、 実は色々な流儀があるが、 この文書では、 (桂田研学生にとっての) 後の応用を考慮して、 微分方程式を基礎として話を進めることにする。

身もふたもないまとめ

任意の $\nu\in\C$ に対して、 $J_\nu(z)$ は (負軸を除いた領域) $\C\setminus\{x; x\le 0\}$ で正則である。 特に $\nu$ が 0 以上の整数であるときは、 $J_\nu(z)$ は $\C$ 全体で正則である。