3次元円柱領域の熱方程式の厳密解についての研究

4年16組74番吉原健治 2005年2月21日

3次元円柱領域の熱方程式の厳密解

\frac{1}{κ}u_{t}(x, y, z, t) = Δu(x, y, z, t) ((x, y, z) ∈ Ω, t ∈ (0, ∞))
u(x, y, z, t) = 0 ((x, y, z) ∈ Γ, t ∈ (0, ∞))
u(x, y, z, 0) = f(x, y, z) ((x, y, z) ∈ \overline{Ω}, t = 0)
{Ω = ((x, y, z) ∈ R^{3}; x^{2} + y^{2} < 1, 0 < z < h) , Γ = ∂Ω}

の厳密解をFourierの方法で求めていく。

u(x, y, z, t) = ζ(x, y, z)η(t)

と置く(但しζ ≢ 0 (in Ω))。代入して計算すると、

\frac{1}{κ^{2}} \frac{η′(t)}{η(t)} = \frac{Δζ(x, y, z)}{ζ(x, y, z)}

これは左辺はx, y, z によらず、右辺はtによらないので定数。それをλと置いて計算すると、

∃λ ∈ C s.t. \{ \begin{matrix}η′(t) = λκ^{2}η(t) \\ Δζ(x, y, z) = λζ(x, y, z) \end{matrix}

ζ は、

\{ \begin{matrix}Δζ(x, y, z) = λζ(x, y, z) (in Ω) \\ ζ(x, y, z) = 0 (on Ω) \end{matrix}

を満たす。ここで、

\{ \begin{matrix}x = r cos θ \\ y = r sin θ \end{matrix}

と置いて極座標変換すると、

\frac{∂^{2}ζ}{∂r^{2}} + \frac{1}{r}\frac{∂ζ}{∂r} + \frac{1}{r^{2}} \frac{∂^{2}ζ}{∂θ^{2}} + \frac{∂^{2}ζ}{∂z^{2}} = λζ (0 < r < 1, θ ∈ [0, 2π))

ここで、

ζ(r, θ, z) = ν(r, θ)W (z)

と置く(但し、 ν(r, θ) ≢ 0 かつ,W (z) ≢ 0)。これより、

\frac{Δν(r, θ)}{ν(r, θ)} − λ = −\frac{W′′(z)}{W (z)}

左辺はz によらず右辺はr, θ によらないので、これは定数。それをμと置いて計算すると、

\{ \begin{matrix}Δν(r, θ) = (λ + μ)ν(r, θ) \\ W′′(z) = −μW (z) \end{matrix}

まず、 W (z)を求めると、

\{ \begin{matrix}μ = \frac{(lπ)^{2}}{h^{2}} (l = 1, 2,…) \\ W (z) = C sin \frac{lπ}{h}z (C は任意定数) \end{matrix}

次に、 Δν(r, θ) = (λ + μ)ν(r, θ)を考える。

ν(r, θ) = R(r)Θ(θ) (R(r) ≢ 0かつΘ(θ) ≢ 0)

と置くと、

\frac{r^{2}R′′(r) + rR′(r) + r^{2}(−λ − μ)R(r)}{R(r)} = −\frac{Θ′′(θ)}{Θ(θ)}

左辺はθによらず、右辺はrによらないので定数。それをαとおいて計算すると、

\{ \begin{matrix}r^{2}R′′(r) + rR′(r) + (r^{2}(−λ − μ) − α)R(r) = 0 \\ Θ′′(θ) = −α \end{matrix}

更に、 Θ(θ)を求めると、

\{ \begin{matrix}α = n^{2}  (n = 0, 1, 2,…) \\ Θ(θ) = C_{1} cos nθ + C_{2} sin nθ (C_{1}, C_{2} は任意定数) \end{matrix}

次に、 R(r)について考える。境界条件から、

R(1) = 0, R(0) < ∞

α = n^{2} よりR(r)は、

r^{2}R′′(r) + rR′(r) + ((−λ − μ)r^{2} − n^{2})R(r) = 0

これはBesselの方程式である。 Besselの方程式とは、

x^{2}y′′ + xy′ + (x^{2} − α^{2})y = 0 (α :定数).

の形をした方程式のことであり、

J_{n}(x) = (\frac{x}{2})^{n} ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k} (\frac{x}{2})^{2k}}{k!Γ(n + k + 1)}, Y_{n}(x) = \frac{J_{n}(x) cos nπ − J_{−n}(x)}{sin nπ}

を解に持ち、一般解は、

y = C_{1}J_{n}(x) + C_{2}Y_{n}(x) (C_{1}, C_{2} は任意定数)

となる。これより、 R(r)の一般解は、

R(r) = D_{1}J_{n}(r\sqrt{−λ − μ}) + D_{2}Y_{n}(r\sqrt{−λ − μ}) (D_{1}, D_{2} は任意定数)

境界条件よりR(r)は原点で有界だが、 Y_{n}は原点で有界ではないので解にはならない。よって、

R(r) = D_{1}J_{n}(r\sqrt{−λ − μ})

またR(1) = 0より、

D_{1}J_{n}(\sqrt{−λ − μ}) = 0

従って、\sqrt{−λ − μ}はJ_{n} の零点である。ここで、 J_{n} の正の零点を

β_{1,n} < β_{2,n} < … < β_{m,n} < … (n = 0, 1, 2, … ; m = 1, 2, 3, …)

とすると、

\sqrt{−λ − μ} = β_{m,n}

これより、

R(r) = D_{1}J_{n}(rβ_{m,n})

以上より、

ν(r, θ) = J_{n}(rβ_{m,n})(C_{1} cos nθ + C_{2} sin nθ)

次に、 η(t)を求めると、

η(t) = Ce^{−κ^{2}(\frac{(lπ)^{2}}{h^{2}}+(β_{m,n})^{2})t} (C は任意定数)

以上で求めたν, W, η を合わせると、

u_{l,m,n} = e^{−κ^{2}(\frac{(lπ)^{2}}{h^{2}}+(β_{m,n})^{2})t}J_{n}(rβ_{m,n})(A_{l,m,n} cos nθ + B_{l,m,n} sin nθ) sin \frac{lπz}{h}

よってuを、

u(r, θ, z, t) = ∑_{n=0}^{∞} ∑_{m,l=1}^{∞} e^{−κ2(\frac{(lπ)2}{h2} +(βm,n)2)t}J_{n}(rβ_{m,n})(A_{l,m,n} cos nθ+B_{l,m,n} sin nθ) sin \frac{lπz}{h}

と置くと、 uは初期条件・境界条件を満たす解であると期待される。初期条件u(r, θ, z, 0) = f(r, θ, z)より、

f(r, θ, z) = ∑_{n=0}^{∞} ∑_{m,l=1}^{∞} J_{n}(rβ_{m,n})(A_{l,m,n} cos nθ + B_{l,m,n} sin nθ) sin \frac{lπz}{h}

ここで、直交性を利用して係数A_{l,m,n}, B_{l,m,n} を求める。 Bessel関数についての直交性は、

∫_{0}^{l} xJ_{n}(\frac{μ_{i}}{l}x)J_{n}(\frac{μ_{j}}{l}x)dx = \{ \begin{matrix}0 & (i ≠ j) \\ \frac{l^{2}}{2} (J_{n+1}(μ_{i}))^{2} & (i = j) \end{matrix}

(但し、 n > −1でμ_{i}, μ_{j} は正の零点)

であるので、

A_{n,m} = \frac{4}{πh(J_{n+1}(β_{m,n}))^{2}} ∫_{0}^{h} ∫_{−π}^{π} ∫_{0}^{1} rJ_{n}(rβ_{m,n})f(r, θ, z) cos nθ sin \frac{lπ}{h}zdrdθdz

B_{n,m} = \frac{4}{πh(J_{n+1}(β_{m,n}))^{2}} ∫_{0}^{h} ∫_{−π}^{π} ∫_{0}^{1} rJ_{n}(rβ_{m,n})f(r, θ, z) sin nθ sin \frac{lπ}{h}zdrdθdz