球領域でのラプラシアン

桂田祐史 2007 年 2 月 14 日

1 ラプラス方程式の Dirichlet 境界値問題

半径 R > 0 の球

Ω = {(x, y, z) ∈ R^{3}; x^{2} + y^{2} + z^{2} < R^{2}}

における Laplace 方程式の同次 Dirichlet 境界値問題

△u = 0 (in Ω), u = ψ (on Γ)

を考える。ここで Γ := ∂Ω である。

1.1 Fourier の方法

極座標

x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ

を用いると

△ = \frac{∂^{2}}{∂r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂}{∂r} + \frac{1}{r^{2}} △_{S},

△_{S} := \frac{∂^{2}}{∂θ^{2}} + cos θ\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{sin^{2} θ} \frac{∂^{2}}{∂ϕ^{2}}

となる。ここで △_{S} は球面 Laplace 作用素 (Laplace-Beltrami 作用素) と呼ばれる微分作用素である。

そこで

\{ \begin{matrix}(\frac{∂^{2}}{∂r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂}{∂r} + \frac{1}{r^{2}} △_{S}) u = 0, \\ u(R, θ, ϕ) = ψ(R, θ, ϕ) (θ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0, 2π]). \end{matrix}

Laplace 方程式の解で、 u(r, θ, ϕ) = U(r)v(θ, ϕ) の形をしたものを求める。

△u = (U′′(t) + \frac{2}{r}U′(r))v(θ, ϕ) + \frac{1}{r^{2}} U(r)△_{S}v(θ, ϕ)

であるから、

\frac{r^{2}(U′′(r) + \frac{2}{r}U′(r))}{U(r)} = −\frac{△_{S}v(θ, ϕ)}{v(θ, ϕ)}.

この等式の値は定数である。これを μ とおくと、

U′′(r) + \frac{2}{r}U′(r) − \frac{μ}{r^{2}} U(r) = 0,

− △_{S}v(θ, ϕ) = μv(θ, ϕ).

(μ, v は −△_{S} の固有値、固有ベクトルに他ならない。 )

1.2 U を求める

r = e^{s} により、変数を r から s に変換すると

\frac{d^{2}U}{ds^{2}} + \frac{dU}{ds} − μU = 0.

これは特性根の方法で解くことができる。

特性方程式は

ν^{2} + ν − μ = 0.

実は μ ≥ 0 であることがわかるが、 μ > 0 である場合は正の根と負の根を持ち、 μ = 0 である場合は 0 と負の根を持つ。大きい根を ν_{1}, 小さい根を ν_{2} とすると、 ν_{1} ≥ 0, ν_{2} < 0 であり、一般解は

U = Ae^{ν_{1}s} + Be^{ν_{2}s} (A, B は任意定数).

これから

U(r) = Ar^{ν_{1}} + Br^{ν_{2}}

となるが、 U(r) は r = 0 で有限の値を取るので、実は B = 0 でなければならない。ゆえに

U(r) = Ar^{ν_{1}}.

調和関数は C^{∞} 級であることから、 U(r) は r = 0 でも無限回微分可能であり、 ν_{1} が整数でなければならないことが分かる。ゆえに

∃ν ∈ N ∪ {0} s.t. ν^{2} + ν − μ = 0 すなわち μ = ν(ν + 1).

1.3 v を求める

v についての条件は

−△_{S}v(θ, ϕ) = μv(θ, ϕ) ((θ, ϕ) ∈ [0, π] × [0, 2π]).

ここで μ は非負整数 ν を用いて μ = ν(ν + 1) と書けることが分かっている。また変数分離する。 v(θ, ϕ) = V (θ)W (ϕ) とおくと、

− (V′′(θ)W (ϕ) + cot θV′(θ)W (ϕ) + \frac{1}{sin^{2} θ}V (θ)W′′(ϕ)) = ν(ν + 1)V (θ)W (ϕ).

これから

sin^{2} θ\frac{V′′(θ) + cot θV′(θ) + ν(ν + 1)V (θ)}{V (θ)} = −\frac{W′′(ϕ)}{W (ϕ)}.

この値は定数である。それを c とおくと、

− W′′(ϕ) = cW (ϕ) (θ ∈ [0, 2π]),

V′′(θ) + cot θV′(θ) + [ν(ν + 1) − \frac{c}{sin^{2} θ}] V (θ) = 0 (θ ∈ [0, π]).

このうち W については、良く知られているように解ける。まず周期 2π の関数であることを用いると、

∃ℓ ∈ N ∪ {0} s.t. c = ℓ^{2}.

このとき

W (ϕ) = A cos ℓϕ + B sin ℓϕ (A, B は任意定数).

c = ℓ^{2} を方程式に代入すると

V′′(θ) + cot θV′(θ) + [ν(ν + 1) − \frac{ℓ^{2}}{sin^{2} θ}] V (θ) = 0.

t = cos θ とおいて、 θ から t に変数変換すると

(1 − t^{2})\frac{d^{2}V}{dt^{2}} − 2t\frac{dV}{dt} + [ν(ν + 1) − \frac{ℓ^{2}}{1 − t^{2}} ] V = 0 (−1 < t < 1).

これは Legendre の陪微分方程式と呼ばれる微分方程式である。この解を Legendre の陪関数という。

特に ℓ = 0 の場合の

(1 − t^{2})\frac{d^{2}V}{dt^{2}} − 2t\frac{dV}{dt} + ν(ν + 1)V = 0

を Legendre の微分方程式と呼び、この方程式の解を Legendre 関数と呼ぶ。 t = ±1 で滑らかな解は、いわゆる Legendre 多項式

P_{ν}(t) := \frac{1}{2^{ν}ν!} (\frac{d}{dt})^{ν} [(t^{2} − 1)^{ν}] (Rodrigues の公式)

の定数倍に限る (これ以外の Legendre 関数は t = ±1 に特異点を持つ)。 ℓ ∈ N の場合は、次の補題に注意する。

[figure] 補題 1 ν ∈ N ∪ {0}, ℓ ∈ {0, 1, …, ν} に対して

L_{(ν)} := (1 − t^{2})\frac{d^{2}}{dt^{2}} − 2t\frac{d}{dt} + ν(ν + 1),

L_{(ν)}^{(ℓ)} := L_{(ν)} − \frac{ℓ^{2}}{1 − t^{2}}

とおくとき、

(1 − t^{2})\frac{d^{ℓ}}{dt^{ℓ}} ∘ L_{(ν)} = L_{(ν)}^{(ℓ)} ∘ (1 − t^{2})^{ℓ/2} \frac{d^{ℓ}}{dt^{ℓ}}

が成り立つ。これから

φ ↦ (1 − t^{2})^{ℓ/2} (\frac{d}{dt})^{ℓ} φ

は Legendre 関数を Legendre 陪関数にうつす (どちらの全体も 2 次元の線型空間をなすことから、これが全単射であることは容易に分かる)。

[figure]

特に

P_{ν}^{ℓ}(t) := (1 − t^{2})^{ℓ/2} (\frac{d}{dt})^{ℓ} P_{ν}(t) (ℓ = 0, 1, ⋯, ν)

は Legendre の陪関数である (より詳しくは L_{(ν)}^{(ℓ)}P_{ν}^{ℓ} = 0 を満たし、 t = ±1 までこめて微分可能なものはこれの定数倍に限る)。ここで P_{ν}(t) は ν 次多項式であるから、 ℓ > ν となる ℓ に対して、 P_{ν}^{ℓ}(t) ≡ 0 となることに注意しておこう。

1.4 変数分離解と一般解

以上より、 Laplace 方程式の変数分離解として

r^{ν}P_{ν}^{ℓ}(cos θ) cos ℓϕ, r^{ν}P_{ν}^{ℓ}(cos θ) sin ℓϕ (ν = 0, 1, …; ℓ = 0, 1, …, ν)

が得られた。この “線型結合”

∑_{ν=0}^{∞} ∑_{ℓ=0}^{ν} r^{ν}P_{ν}^{ℓ}(cos θ)(A_{ν,ℓ} cos ℓϕ + B_{ν,ℓ} sin ℓϕ).

はやはり Laplace 方程式の解であり、実は任意の調和関数を表せることが分かる。係数 A_{ν,ℓ}, B_{ν,ℓ} は直交性から決定することができる。

1.5 おまけ: 球面 Laplace 作用素の固有値・固有関数

P_{ν}^{ℓ}(cos θ) cos ℓϕ, P_{ν}^{ℓ}(cos θ) sin ℓϕ (ν = 0, 1, …; ℓ = 0, 1, …, ν)

は −△_{S} の固有関数であり、これが L^{2}(S^{2}) の完全系であることが分かる。対応する固有値は μ = ν(ν + 1) である。すなわち

−△P_{ν}^{ℓ}(cos θ) cos ℓϕ = ν(ν + 1)P_{ν}^{ℓ}(cos θ) cos ℓϕ,
−△P_{ν}^{ℓ}(cos θ) sin ℓϕ = ν(ν + 1)P_{ν}^{ℓ}(cos θ) sin ℓϕ.

2 熱方程式の初期値境界値問題

(書きかけ)